什么是ultrafilter

一,介绍

偏序集中有一个很有趣的概念,叫做ultrafilter。

定义:给定一个集合X,考察幂集2^X的某个非空子集F,我们将其定义为filter,如果满足下面的条件:

1. 对任何的A, B \in F, 则A\cap B \in F.

2. 对任何的C \in FA \in P, C \subseteq A 蕴含 A \in F.

3. 空集不在F中。

(注意,可以将该定义一般化到任意一个偏序集中去。)

filter这个名词的引入可以说十分的形象。我们不妨假定F是一个满足上面条件的filter,然后按照下面很不严格的方法去理解这个东西。首先,试想F中有一个东西,如果集合A包含了这个东西,就把A放进F中作为一个元素。因此定义的第一条看着很合理,真的就像在过滤什么东西,因为,如果这个东西既在A里,又在B里,显然它也应该存在于A和B的某个公共部分中。这个意思在定义的第二条中表现的更清楚。同时,为了整个概念不至于平凡,我们不希望我们的宝贝也存在于空集之中。事实上,我们把这个将要接受过滤的宝贝东西和这个filter本身不加区分了。

故事到这里还没完,我们需要给上面的概念再加上一个限制如下:

4,设A是X的一个子集,则A于A的补集恰好有一个是属于F的.

满足这个条件的filter叫做ultrafilter。

为了说明这第四条性质我们还是继续上面的描述。满足前三条的一个filter F既然代表了一件珍贵的宝物,那么如果第四条不满足,也就是说我们这个宝物既不在A中,也不在A的补集中。这样的话,这件宝物可不怎么样,能够被A和它的补给分割开来,没有一个再完整的包含它了。于是,如果我们又有一个filter F’能够真包含F,不妨就说F’好些(finer).而ultrafilter,就是最好的。

给定一个X中的元素a,我们马上就发现,如果令F为所有包含a的集合组成的族,很容易验证F就是一个ultrafilter。如果ultrafilter都是这样的话,我们费这么大的力气就有点得不偿失了。我们定义,像上面这样的特殊的好理解的ultrafilter叫做principal的。而剩下的就相应的叫做non-principal ultrafilter。毫不出人意料的是(或者,非常出人意料的是),non-principal要多的不得了,远比principal的多。

non-principal ultrafilter的存在性

令q 表示由自然数中全体余有限的子集组成的族(即,补集是有限集的集合). 这显然是一个filter. 由于任何一个由filter组成的链,将他们并在一起得到的也是filter,所以我们利用Zorn引理得到,q将会包含在一个极大元p中. p一定是ultrafilter,因为如果不满足条件4,又可以够造出更好的filter,这与极大元相矛盾.而且,p一定是non-principal,这是因为任何一个单点,p都可以有元素不包含它。

陶哲轩在博客上的一个帖子对ultrafilter的存在性有一个更有趣的解释,而且还对两种不同的情况有个对比。他称此为“无穷选举”。

有一个选举有无穷(可数)多个选民参与,而且想竞选总统一样,每个人实际上要做的是2选1(即是在或不在我们的filter中)。如果情况很简单,一方只有有限个选票,另一方无限,那么结果很明显。但是如果对立的双方都有无限个选民,情况就复杂了。这时,我们别无它法只好随便选一方,另一方就算倒霉吧,全体不再考虑了,就此取消他们的选举资格。如果选举任务已经完成,这正好是一个filter。但是如果我们不肯就此罢休,在没有被淘汰掉的无穷多个人中再次选举——为另一个有争议的2选1话题。依次类推,每次都取消掉任意的选一个具有无穷选民的一方,取消另外一方全体的资格.如果这件事一直做到底(数学上显然可以),我们得到的东西就是non-principal ultrafilter了. (另一方面,如果在任意的一次选举中,我们听从了有限的选民的意见,而取缔了另外的无穷多个人的资格,那么我们的结论就最终会落在一个特殊的选民身上,这其实就是独裁统治了。于此对应的,恰恰是principal的情形。

尽管上面的例子并不严格,稍加思考仍能感觉到Zorn引理何以需要在证明中使用。事实上,在类似的涉及无穷的问题中,选择公理总是很自然的出现。

二,Stone-Čech 紧化 (相关的材料参考Tao的遍历论讲义

我们先来介绍一个看似无关的点集拓扑学中的理论。

定理:(Stone-Čech 紧化)。对一个局部紧Hausdorff空间X,存在一个紧空间\beta X,满足

1,存在一个连续映射\Delta: X\to \beta X使得\Delta: X\to \Delta(X) 是一个同胚。

2,\Delta(X)\beta X的一个开的稠密子集。

3,任何一个X上的有界连续泛函f,可以唯一的扩张到\beta X上的连续泛函\beta f,使得\beta f\circ \Delta=f

证明(简略):

方法1 (Chapter 5 of book[1])利用泛函分析中的弱拓扑是一种很有效的方法。首先注意到局部紧Hausdorff空间是完全正则空间。设所有X上的界连续泛函z组成的空间C_b(X)可以定义范数:\|f\|=\sup\{|f(x)|:x\in X\}.而Alaoglu定理保证了,一个赋范向量空间的对偶空间的单位闭球在弱*意义下是紧的。

对每一个x\in X,定义\delta_x \in C_b(X)^*\delta_x(f)=f(x)。令\Delta:X\to C_b(X)^*\Delta(x)=\delta_x,再令\beta X= \Delta XC_b(X)^*中的按照弱*拓扑的闭包。接下来利用Alaoglu定理,则除了唯一性要做一些精细的分析之外,其余的结论都是容易证明的。

方法2:这个证明方法的基本思路是,\beta X应当是”最好“的紧化。我们说X的一个紧化Y比另一个Z更好的意思是:从Y到Z存在一个连续满射,在X上是恒等映射(注意X同时包含在Y与Z中)。这样构成的偏序集上,每一个链的逆极限(inverse limit)也是一个紧化,构成链的上界。于是利用Zorn引理即可。显然,唯一性仍然需要证明。

注:虽然第一种证明方法没有出现Zorn引理,但是Alaoglu定理的证明中使用Tychonoff定理,而后者的证明无法避免选择公理的使用。

下面的习题说明了,Stone-Čech 紧化是如何与ultrafilter产生了联系的。

练习1:令$X$具离散拓扑。而\beta X为其Stone-Čech 紧化。对任意的p\in \beta X,令[p]\subseteq 2^X为一个集族,为满足\beta 1_A(p)=1的一切集合A所构成。 证明[p]是一个ultrafilter。

更进一步的,证明映射p\to [p]是一个从\beta X到所有ultrafilters组成的空间的同胚。后者我们配备以以下的拓扑:首先给\{0,1\}配备离散拓扑,然后给2^{2^X}配以乘积拓扑,在诱导到ultrafilters空间中。

证明:1, 如果 \phi\in [p], 则 \beta1_\phi(p)=1。显然这是一个矛盾,因为1_\phi\equiv 0.

2, 如果 U\in [p] 则 \beta 1_U(p)=1, 这样  p \in \overline{U}\subseteq\overline{V}, 于是 \beta 1_V(p)=1.

3,如果 p \in \overline{U} 以及 p \in \overline{V}, 则 p\in\overline{U\cap V}.

4,令f(x)=\max(I_U(x),I_V(x)), 则有f(x)\equiv 1. 于是 \beta f(p)\equiv 1, 那么U和V中恰有一个在[p]中.

g(x) 为这个映射, 首先检验这个映射是单射:给定两个不同的\beta X中的点p 和 q ,我们可以找到两个整数序列\{p_n\}\{q_n\}满足p=\lim_n p_nq=\lim_n q_n. 如果必要的话删除有限个元素, 可以假设\{q_n\} \cap \{p_n\}=\phi. 这样,我们就有下面两式成立\beta 1_{\{p_n\}}(p)=1, \beta 1_{\{p_n\}}(q)=0。这说明\{p_n\}\in [p],\{p_n\}\notin [q]. 因此,[p] 和 [q]是两个不同的ultrafilter.

给定 \beta X元素p的一个开邻域 V , 考察g(V)。它是所有满足下面条件的ultrafilter的集合:每一个ultrafilter都包含\{ x\in X:x \in V \}作为它的子集。显然,在ultrafilter的空间的拓扑下,这是一个开集.

参考文献

[1]John B. Conway (1994). A course in functional analysis, 2nd edition, Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5.

[2]Terence Tao(2008), Structure and Randomness: pages from year one of a mathematical blog

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2 Comments on “什么是ultrafilter”


  1. [...] (注:遍历论为陶哲轩教授于今年年初的一门课程,我尝试将所有习题做出来,这是第四讲的十五个习题。这里是本讲的链接。关于ultrafilter,我写过一个帖子。) [...]


  2. [...] 首先,便是紧致但不列紧的空间。事实上,这个结论跟non-principal的ultrafilter有很大关系,我们可以证明没有一个点列是可以以它们为极限的。事实上,我们在找这样一个点列,定义为,给定任意一个,的值是x写成2进位小数之后第一位的值。这样定义的点列的任意一个子列取定,我们可以找到一个[0,1]之间的数满足,改点写成二进位之后在第位上分别是,因此就在这个点上,的值一直在0,1交替,不可能有极限。也就是说,作为子列是不会有极限的。而在由的任意性,我们得到了结论。而由Tychonoff定理,我们知道这个空间的紧致性。 [...]


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