美丽的数

John.Horton.Conway 的书 “On Numbers and Games“是一本精彩的数学书,我强烈的推荐给数学同行(其他人士读来可能会有一些门槛,它毕竟是一本数学专著)。这书只要一翻开,任何读者都会感受到著者Conway下的功夫。从内容的取材和全书的安排,无不力求完美。

J.H.Conway是一个有趣的数学家,他热爱数学的程度可谓登峰造极。据传,此人给学生上课的时候常常手舞足蹈,抑制不了自己激动的情绪。甚至有一次,他在讲台上上窜下跳,实在太过激动。只见他突然间躺了下来。过了一会,这人站起来说:“下面我要讲的定理实在是太美了,我去年讲它的时候曾经把地板搞坏了,所以我必须冷静一下。”由此可见一斑。

这本书是他的力作,可以说处处体现着他这种感情。翻到书正文的最后一页,只见最后两行写着:“Theorem 100. This is the last theorem in this book.” ” The proof is obvious.”

本书的主要内容之一是关于数。

Dedekind 在有理数的基础之上构造了所有实数,提出了著名的“Dedekind cut(分割)”虽然在逻辑上已然解决的实数定义问题(这曾经是最最重大的问题),但是已然有很多批评的声音。其中最主要的声音在于,该种方法需要先对有理数有个定义,然后才能实施。而实施的过程中又对有理数重新定义了一遍。显然,两次定义的相同的数学对象,显出了过多的“人为”的色彩。

Cantor 构造了无限基数,例如将所有的自然数放在一起构成的集合\omega看做一个新数要比所有已知的有限数大。而\{1,2\cdots, \omega\}又是一个比\omega更大的数(按集合包含关系定义数的大小)。Von Neumann 发展了这种方法。

而将这两个方法结合在一起得到了一个更加精彩的构造数的方法:

令L,R是任意两个数的集合,并且满足没有一个L中数\geq任何R中的数,则就此构造出一个新数数\{L|R\}. 所有的数都可以如此构造出来。

要说清楚这个构造,还需要严格的做几个定义,当然,再举几个例子。

首先是关于大小关系。既然任意两个数都是前面的方法定义出来的,则拿来两个数x=\{x^L| x^R\} 以及 y=\{y^L|y^R \},我们归纳的定义什么叫 x\geq y如下(注意归纳假设,此时虽然还没有定义这两个数之间的大小关系,但是这两个数的定义中出现的“老数”的大小关系我们认为已经定义完了,这里这样做是合适的,过会还要说明。):若在x^R任意取的元素x^r和在y^L中任意取元素y^l,不会发生x^r\leq y 以及x \leq y^l,则我们认为x\geq y。同样的,x\leq y也可以定义出来。

注意到,这里面实际上运用到了超限归纳法。我们回忆:

给定一个良序集A,比如序数集或者基数集。令P(\alpha)是一个定义在A上的性质。超限归纳法保证,如果对于A中任意满足\beta < \alpha\beta,满足P(\beta)成立,则P(\alpha)也成立。

接下来继续给出几个定义,

定义:x=y iff x\geq y and x\leq y

定义:x>y iff x\geq y and y\ngeq x

定义:x<y iff x\leq y and y\nleq x

以及定义运算:

x+y=\{x^L+y, x+y^L| x^R+y,x+y^R\}.

-x=\{-x^R|-x^L\}

xy=\{x^Ly+xy^L-x^Ly^L,x^Ry+xy^R-x^Ry^R| x^Ly +xy^R-x^Ly^R,x^Ry+xy^L-x^Ry^L\}

到此为止,我们事实上已经定义出了所有的数。下面看一些例子,才能有更清楚的体会。

数0:由构造的方法,每个都具有形式\{L|R\},其中L和R是两个先前定义好的的集合。因此,一开始我们还没有任何的数的情况下,显然可以有两个空集定义出一个来。而且定义其为0,从直觉上非常之合理。0确实是数以及不等式0\geq 0也都可以直接用定义检验出来。

数1和-1:我们既然已经有了一个数0,我们可用的集合就成了两个:\{0\}和空集本身。而另一方面,\{0|0\} 并不满足的定义,因此排除掉之后我们得到两个新数,定义1=\{0| \}-1=\{|0\}.一切的合理性以及大小关系都可以由构造和定义验证,但不是太直观。验证的结果当然是,和直观没有任何矛盾。

数2,\frac{1}{2}, -2以及-\frac{1}{2} :我们直接定义,并经过计算可以得到如下结果

-2=\{|-1\}=\{|-1,0\}=\{|-1,1\}=\{|-1,0,1\}

-1=\{|0\}=\{|1,0\}

-\frac{1}{2} =\{-1|0\}=\{-1|1,0\}

0=\{|\}=\{-1|\}= \{|1\}=\{-1|1\}

\frac{1}{2} =\{0|1\} =\{-1,0|1\}

1=\{0|\}=\{-1,0|\}

2=\{1|\}=\{0,1|\}=\{-1,1|\}=\{-1,0,1|\}

\frac{1}{4}等等:事实上,我们定义\frac{1}{4}=\{0|1/2\}.而为了定义\frac{1}{3},我们注意到,\frac{1}{4} < \frac{1}{4} +\frac{1}{16} <\cdots< \frac{1}{3} <\cdots < \frac{1}{2}-\frac{1}{8}. 1/3是左右两个数列的极限,则我们可以定义\frac{1}{3}= \{\frac{1}{4},\frac{1}{4} +\frac{1}{16},\cdots |\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{1}{8} ,\cdots\}.至此,已经很有意思了,比如证明如此定义的1/3满足1/3+1/3+1/3=1就可以感受到某种美感在乎其中。

剩下的数的构造还并不明显,首先需要做得就是如何让数的众多相同形式能有一个简单清楚的辨别,这不是这个短短的介绍性的帖子能写清楚的了。

\omega的出现:就像可以想到的,定义\omega = \{0,1,2,3,\cdots |\},而相应的,-\omega= \{|0,-1,-2,-3,\cdots \}.同样的,1/\omega=\{0|1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}, \cdots\}。这个数很有意思,事实上,它比任何一个正实数都小。当年牛顿在微积分中引入无穷小量,解决了物理中大量问题,可是这个方法的数学解释却不能令人容忍。后来引入的\varepsilon-\delta语言让数学家们足够满意,就告了一个段落。而再后来,有人重新来看牛顿的无穷小量,用方才的方法去严格加以定义,使得“非典型分析”重回历史舞台。这个方法的优点是避开了繁琐的\varepsilon-\delta语言,为数学论文的简化可以做出贡献(当然不能牺牲严格性)。这个过程够精彩的,陶哲轩为此还写过一篇文章

更多的数的构造依此可行,比如\omega +1这样的东西也并入了同一框架。

评:数学的公理化最有名气的莫过于欧几里德几何的公理化几何。尽管后来有哥德尔的“不完备定理”做拦路老虎,但是,这件事一直在被数学家做着。公理化的理论如此的完美漂亮,从空集平地而起。虽然验证的过程如此的麻烦,但是最终的结论却干净的令人惊愕。数学在这样的地方总是最有魅力的地方,试想一下行列式的意义,简直异曲同工。

(本帖子中的材料基本都可以在 “On Numbers and Games”的第零章第零节中找到)

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2 Comments on “美丽的数”

  1. 阿健 Says:

    有一说, 上天造了整数,其余都是人工. 数学的本质部分似乎是很小的,就像民歌已包含了音乐的全部意义,城市文明里的作品不过是这些元料的整合.规模既大,离本原亦远.Tim Gowers 说不喜高级数学,而爱基本数学.海子诗如生命和语言的胚胎.这个小而纯的胚胎当是数学家和诗人天赋和快乐的源头.数是美丽,空集是美丽,民歌是美丽.

  2. 阿健 Says:

    文章越来越丰富.博主加油!


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