上同调论讲义（林金坤）Chapter 1

学数学不做题目，如入宝山而空返。——华罗庚

我们的很多博士生已经不做题了。这大概是目光短浅的一个体现。他们觉得做题耗费时间，可是时间长了，差距就慢慢的造成了。这学期我选学林金坤的上同调论的课程，说心里话一开始并没有看得起这门课，我觉得了解一点就算了。但是随着学习的深入，我慢慢的感觉到了这门课程的重要意义。我想，下学期应该把代数拓扑和几何的学习提上日程来。

林教授的讲义仅仅80页，每次两课时仅仅讲三五页而已。这样的书是很难读的，充满了严格的数学符号，没有文字上的解释。原本我是不大喜欢这样的书，但是我最近又体会到了这种书的优点，那就是可以比较快速的进入这门学科，虽然要下些功夫。但是为了今后更进一步的学习这门学科做些准备，我想不出更好的方法了。

第一章九个习题如下：

Exercise 1：设 $H$ 为可除群，即 $H$ 满足对每个 $h\in H$ 和每个正整数n，都有 $h'\in H$ 使得 $h=nh'$ .设 $G$ 为Abel群而 $T$ 是 $G$ 的挠子群。证明： $G \otimes H \cong (G/T)\otimes H.$ (注意：T不一定是可加项。)

挠子群：全体有限阶元素组成的子群。

Proof. 定义同态 $\theta: G\otimes H\to (G/ T) \otimes H$ 为 $\theta (g\times h)=\overline{g} \otimes h$ , 其中 $\overline{g}$ 表示 $g$ 为代表元的那个 $G/ T$ 中的元素。 $\theta$ 显然是满射，我们只要验证 $\theta$ 是单射即可。对任意的 $\theta (g\times h)=\overline{g} \otimes h=0$ ，或者 $h=0$ ,这样也就完成了证明；或者 $g\in T$ , 这时设 $g$ 的阶是n,由群G的可除性，我们有 $h'$ 使得 $h=nh'$ ,于是 $g\otimes h= n(g\otimes h') =ng \otimes h'=0$ ,也就证明了 $\theta$ 是单射。 $\square$

Exercise 2: 若 $A = Z\oplus Z_2 \oplus Z_4 \oplus Z_6$ , $B= Z\oplus Z \oplus Z_9 \oplus Z_{12}$ , 试计算 $A\otimes B$ 和$Tor(A,B)$.

Proof. 使用例1.1.2和例1.1.3以及推论1.2.8，以及张量积和挠积的关于直和的分配率性质。

$A\otimes B = (Z\oplus Z_2 \oplus Z_4 \oplus Z_6)\otimes (Z\oplus Z \oplus Z_9 \oplus Z_{12}) \\ = Z\oplus Z \oplus Z_9 \oplus Z_{12} \oplus Z_2\oplus Z_2 \oplus Z_2\\ = \oplus Z_4 \oplus Z_4 \oplus Z_4 \oplus Z_6 \oplus Z_6 \oplus Z_3 \oplus Z_6$

$Tor(A, B) = Tor(Z\oplus Z_2 \oplus Z_4 \oplus Z_6, Z\oplus Z \oplus Z_9 \oplus Z_{12}) \\= Z_2\oplus Z_4 \oplus Z_3 \oplus Z_6$ $\square$

Exercise 3:设 $\phi :A\to B$ 为单同态，证明： $Tor(\phi,1_C):Tor(A,C) \to Tor(B,C)$ 也是单同态。

Proof.利用定理1.2.9，对于Able群C和给定的短正合序列 $0 \to A \stackrel {f}{\to} B \stackrel {g}{\to} B/Im f \to 0$ , 存在正合序列 $0 \to Tor(A,C) \to Tot(B,C) \to Tor(B/Im f ,C) \to A\otimes C \to B\otimes C \to B/Im f \otimes C \to 0$ .由前面两项就可以看出， $Tor(\phi,1_C):Tor(A,C) \to Tor(B,C)$ 是单同态。 $\square$ .

Exercise 4: 设 $\theta: G \to H$ 是Able群之间的同态，证明： $\theta$ 导出同态 $\theta_*: H_n(X;G) \to H_n(X;H)$ 使当 $f : X\to Y$ 为空间 $X, Y$ 之间的映射，则有： $\theta_* f_* =f_*\theta_*$ .

Proof. 定义 $\theta_*: H_n(X;G) \to H_n(X;H)$ 为 $\theta_*([z\otimes g])= [z\otimes \theta (g)]$ .首先说明这是良定义的：对于 $H_n(X;G)$ 中的闭链 $z\otimes g$ ，满足 $(\partial \otimes 1)(z\otimes g) = \partial (z)\otimes g=0$ ,则 $\partial (z) \otimes \theta (g) =0$ 也成立。这就是说，
$z\otimes \theta (g)$ 亦是闭链。另一方面，若 $z\otimes g$ 和 $z'\otimes g'$ 是同一个闭链类的两个不同的元，则我们有 $(z-z')\otimes (g-g')$ 是边缘，类似前面可以证明， $(z-z')\otimes \theta(g-g')$ 也是边缘。因此 $\theta_*$ 是良定义的。对于任意的闭链类 $[z\otimes g] \in H_n(X;G)$ ，我们有
$f_*\theta _* ([z\otimes g]) =f_* ([z\otimes \theta (g)]) =[f(z)\otimes \theta (g)]= \theta_* ([f(z)\otimes g])=\theta_* f_* ([z\otimes g])$ ,即 $\theta_* f_* =f_*\theta_*$ 。 $\square$

Exercise 5:证明： $Able$ 群短正合序列 $0 \to G \stackrel{\alpha}{\to} H \stackrel {\beta}{\to} K \to 0$ 导出同调群的长正合序列： $\cdots \to H_n(X;G) \stackrel{\alpha_*}{\to} H_n(X;H) \stackrel{\beta_*}{\to} H_n(X;K) \stackrel{\partial_*}{\to} H_{n-1}(X;G)\stackrel{\alpha_*}{\to} \cdots$ .

Proof. 由于 $S(X)$ 是自由Able群，因此由定理1.1.9和已知条件的短正合序列 $0 \to G \stackrel{\alpha}{\to} H \stackrel {\beta}{\to} K \to 0$ ，我们有以下的序列 $0 \to S(X) \otimes G \stackrel{1\otimes \alpha}{\to} S(X)\otimes H \stackrel {1\otimes \beta}{\to} S(X)\otimes K \to 0$ 也是正合序列。因此，导出正合长序列 $\cdots \to H_n(X;G) \stackrel {\alpha_*}{\to} H_n(X;H) \stackrel{\beta_*}{\to} H_n(X;K) \stackrel{\partial_*}{\to} H_{n-1}(X;G)\stackrel {\alpha_*}{\to} \cdots$ . $\square$

Exercise 6: 若n维复形K的 $Euler-Poincar\acute{e}$ 示性数不等于0，则它的多面体的任一同伦于恒等映射的自映射由不动点。

Proof.设f为同伦于恒等映射的多面体 $K$ 的自映射，由定理拓扑学基础的定理2.22我们知道，同伦的映射导出相同的同调群的同态，容易证明，这个结论对一般系数同调群也成立。由于恒等映射的Lefschetz数就是该多面体的 $Euler-Poincar\acute{e}$ 示性数，不等于0，因此由Lefschetz不动点定理，f有不动点。 $\square$

Exercise 7:设 $f:S^n \to S^n$ 为n维球面的自映射且 $f(S^n)\neq S^n$ ,则f有不动点。

Proof. 由条件，假设 $x\notin f(S^n)$ ,则f可以看做 $f(S^n)\backslash \{x\} \to F(S^n)\backslash \{x\}$ 的自映射。由于 $f(S^n)\backslash \{x\}$ 同胚于n维圆盘 $E^n$ ,由Brouwer不动点定理，就得到了结论。 $\square$

Exercise 8:当n为偶数时，n维球面 $S^n$ 的自映射f或具有不动点，或有一点a使 $f(a)=-a$ .

Proof.n维球面 $S^n$ 的同调群为 $H_0(S^n)= \Bbb Z$ , $H_n(S^n)=\Bbb Z$ ；当k不等于0或者n时， $H_k(S^n)=0$ 。由此，知 $S^n$ 的以 $\Bbb Q$ 为系数群的同调群为 $H_0(S^n)= \Bbb Q$ , $H_n(S^n)=\Bbb Q$ ；当k不等于0或者n时， $H_k(S^n)=0$ .这就是说， $tr(f_*^0)=1$ ,而由上一题我们可以假设 $f(S^n) =s^n$ , 因此f将唯一的n维单形映为n维单形，于是 $tr(f_*^n)=1$ 或 $-1$ ，取决于单形的定向；其余的迹均为0.于是，我们知道如果另 $g(x)=-f(x)$ ,则或者 $L(f)=2$ ,或者 $L(g)=2$ ,即：f或具有不动点，或有一点a使 $f(a)=-a$ 。 $\square$

Exercise 9:设n为偶数，则n维射影空间$RP^n$的任一自映射 $f:RP^n\to RP^n$ 有不动点。

Proof. n维射影空间 $RP^n$ 可以看做将n维球面 $S^n$ 的对径点粘合之后得到的商空间。而任意 $RP^n$ 的自映射f可以通过和 $S^n$ 的对径点粘合复合得到 $S^n$ 的自映射g。由上题结论，当n为偶数时，g或具有不动点，或有一点 a 使 $g(a)=-a$ .这两种情况都可以得到 $f(a)=a$ ,命题得证。 $\square$

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This entry was posted on 2008/04/24 at 12:09 pm and is filed under math.AT, Maths. You can subscribe via RSS 2.0 feed to this post's comments. You can comment below, or link to this permanent URL from your own site.

One Comment on “上同调论讲义（林金坤）Chapter 1”

Anonymous Says:

2010/09/08 at 5:12 am
请问林老师的讲义在哪可以看到

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